第三百六十章 丘成桐的卡拉比猜想 (4 / 4)
对于复流形的切丛，度量可以认为是没有挠率的度量，所以度量意味着流形的切丛在代数几何意义下是稳定的，但要更细致更深刻。
多年来，丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着度量的存在。
从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生，他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。
第65个问题就猜测度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。
在第一陈类大于零的复流形上，这个猜想首次给出了度量存在的充分必要条件，建立了标准度量与代数几何的密切关系。
在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。
与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。
首先这类流形有不存在度量的例子。
在20世纪60年代，松岛（）证明了流形的自同构群必须可约。
80年代初，福复（）引进了此类流形上存在度量的障碍函数，被称之为福复不变量。
事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。
在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为K-稳定性，并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。此后唐纳森引进了适合研究丘成桐猜想的代数几何意义下的K-稳定性概念，并在2010年公布了证明K-稳定性与度量存在等价性的丘成桐猜想的纲领，最近（编者注：指2013年）陈秀雄－唐纳森-孙菘在网上发表了三篇文章实现了这些想法，而田刚在唐纳森纲领的基础上也宣称完成了这个猜想的证明。由于这些文章都相当复杂，如唐纳森等人写了三篇长文，田刚在贴出自己的文章后还在不断地做出修改，所以这些证明的正确性还有待专家们详细验证。
第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形，这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少，其内容也远不如后者丰富，例如复一维情形只有一个球面，而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大，特别是1979年森重文（Mori）在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性，这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。以此为工具，代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。
这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比，这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子，而由于丘成桐证明的卡拉比猜想，在这些流形的研究中，微分几何的方法和工具更强大也更有效。这里我们还要注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的，K-稳定性并不是一个容易验证的条件，其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的，K-稳定形可以推出切丛的稳定性。所以即使K-稳定性等价于度量的存在性的猜想得到证明，其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后，便将题目交给了他的学生和朋友，一方面他认为他的猜想虽然重要，但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离，另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性，也有更大的潜力。事实上，他和他的学生与博士后在流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景，只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。
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多年来，丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着度量的存在。
从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生，他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。
第65个问题就猜测度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。
在第一陈类大于零的复流形上，这个猜想首次给出了度量存在的充分必要条件，建立了标准度量与代数几何的密切关系。
在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。
与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。
首先这类流形有不存在度量的例子。
在20世纪60年代，松岛（）证明了流形的自同构群必须可约。
80年代初，福复（）引进了此类流形上存在度量的障碍函数，被称之为福复不变量。
事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。
在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为K-稳定性，并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。此后唐纳森引进了适合研究丘成桐猜想的代数几何意义下的K-稳定性概念，并在2010年公布了证明K-稳定性与度量存在等价性的丘成桐猜想的纲领，最近（编者注：指2013年）陈秀雄－唐纳森-孙菘在网上发表了三篇文章实现了这些想法，而田刚在唐纳森纲领的基础上也宣称完成了这个猜想的证明。由于这些文章都相当复杂，如唐纳森等人写了三篇长文，田刚在贴出自己的文章后还在不断地做出修改，所以这些证明的正确性还有待专家们详细验证。
第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形，这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少，其内容也远不如后者丰富，例如复一维情形只有一个球面，而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大，特别是1979年森重文（Mori）在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性，这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。以此为工具，代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。
这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比，这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子，而由于丘成桐证明的卡拉比猜想，在这些流形的研究中，微分几何的方法和工具更强大也更有效。这里我们还要注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的，K-稳定性并不是一个容易验证的条件，其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的，K-稳定形可以推出切丛的稳定性。所以即使K-稳定性等价于度量的存在性的猜想得到证明，其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后，便将题目交给了他的学生和朋友，一方面他认为他的猜想虽然重要，但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离，另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性，也有更大的潜力。事实上，他和他的学生与博士后在流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景，只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。
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