第三百六十章 丘成桐的卡拉比猜想 (1 / 4)

        卡拉比猜想是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场。

        卡拉比（Cabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。

        1941年的霍奇（Hodge）理论刚刚由魏尔（Weyl）和小平邦彥（）整理完成。

        1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的定理。

        工程师出身的博特（Bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。

        这些结果很快激发出了指标定理。塞尔（Serre）用勒雷（Leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇GAGA，将复分析系统地引入代数几何。

        &证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。

        稍后，米尔诺（）发现了七维怪球，纳什（Nash）证明了黎曼（）流形的嵌入定理。

        1954年的国际数学家大会，菲尔兹（）奖的获奖者是小平邦彥（）和塞尔（Serre），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。

        31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。

        但3年后，在1957年的一篇关于流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”

        众所周知，庞加莱（）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。

        如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。

        卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。

        特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。

        这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。

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